10 июня 1957 года у Анатолия Павловича и Александры Дмитриевны Букиных родился младший сын Андрей. Анатолий Павлович полковник, прошел всю войну, затем работал в Военной Академии Фрунзе, мама до рождения Андрея работала швеей, потом переключилась на воспитание младшего сына.

Андрей:

- Я был в семье второй и поздний ребенок, разница в годах у нас со старшим братом 15 лет. Наверное, поэтому я рос домашним ребенком, в детский сад не ходил. Мама после моего рождения перестала работать и занималась только мною. Она и поставила меня на коньки. Мы в то время переехали на новую квартиру к метро «Аэропорт», где около Ленинградского рынка был небольшой пруд. Зимой мама приводила меня туда кататься, прикручивая к моим валенкам, двухполозные коньки. Чистого льда и видно-то не было, мне же казалось, что я катаюсь, хотя на самом деле ходил в коньках по снегу.
В 7 лет мама записала меня в секцию фигурного катания ЦСКА, которая находилась рядом, через дорогу. Конечно, в ЦСКА я попал не к знаменитому Жуку, а в платную группу, располагавшуюся на маленьком стадионе в Чапаевском парке, около Песчаной площади.

Прозанимавшись фигурным катанием 2 года, Андрюша заболел, много пропустил и вместо катка его записали на гимнастику. Там юный Букин славы не снискал, способностей к гимнастике у него не оказалось. Тогда родители записали сына в бассейн. Плавать он научился, но делал это медленно, поэтому о карьере пловца тоже пришлось забыть. И через год мама снова привела Андрея на фигурное катание.
Он начал заниматься в группе Роберта Романовича Лалейта. Тренировки, в основном, проходили на улице, на искусственном льду потренироваться удавалось редко. За два года занятий он докатался до третьего юношеского разряда, но «школа» и многооборотные прыжки ему не очень удавались.
Поэтому, когда 10-летний Андрей попал в «Спартак», его определили в танцы. Итак, с января 1969 года Букин начал постигать танцевальные премудрости под руководством Анатолия Ивановича Петухова. Тренировались на открытом льду на Малой спортивной арене Лужников. Прокатавшись полгода с одной партнершей, Андрей остался один. И опять встал вопрос о том, чтобы уйти из фигурного катания, тем более что мальчика приняли в музыкальную школу имени Дунаевского по классу баяна.

Но, фигурное катание уже прочно вошло в жизнь Букина, и он снова оказался на льду. И вскоре попал в группу к Надежде Степановне Широковой. Она была первой чемпионкой СССР в танцах на льду, выступала под фамилией Велли в паре с Сергеем Широковым.
Перепробовав несколько девочек, Надежда Степановна поставила Андрея в пару к Ольге Абанкиной.

Андрей:

- Мы сразу же подошли друг другу, к тому же Ольга оказалась первой партнершей, которая оказалась пусть чуть-чуть, но ниже меня.
Я прекрасно помню момент, когда Надежда Степановна подвела меня в углу катка к Ольге. Надо было проскользить по краю площадки, держа ее руку в своей руке, только и всего, а на меня столбняк напал. Первые уроки – как в тумане. Так с осени 1969 года я стал тренироваться уже вместе с Ольгой. То, что я, мальчик, занимаюсь танцами, меня не волновало. Я любил фигурное катание, и если меня уже никуда не брали, то хоть в танцах держали. Я рос тихим, положительным ребенком, совершенно не хулиганил. Меня, как самого младшего в группе не очень терроризировали, что нередко делают «старослужащие», и не только в армии. На одном катке с нами тренировалась и Наташа. Я запомнил ее только потому, что эта огненно рыжая девочка всегда была одета в синее платье.

Ольга была перворазрядницей, к тому же очень гибкой и растянутой девочкой, Андрею пришлось немало потрудиться, чтобы угнаться за партнершей, но вскоре у пары Абанкина - Букин появились первые успехи.
С 14 лет они выступали и на юношеских, и на взрослых соревнованиях, но на чемпионат мира среди юниоров попасть так и не успели, к тому времени, когда стали проводиться подобные турниры, они вышли из юниорского возраста. Но в 74 году они стали чемпионами СССР среди юниоров и поехали на международный турнир в Чехословакию. На этом турнире Абанкина-Букин обыграли пару из английского города Ноттингема Сандру Эльсон и Кристофера Дина.

Андрей:

- Турнир проходил в Чехословакии и, поскольку, чемпионатов Европы и мира среди юниоров тогда не было, этот турнир считался неофициальным первенством континента. Мы с Ольгой победили. Подошел ко мне английский тренер, поздравил с победой и сказал: «Вон, видишь того парня? Сегодня ты побил его, а завтра он тебя» Я ответил, что, мол, время покажет. И время действительно показало. Потому что этим парнем был Кристофер Дин, правда, партнерша у него была другая.